EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales son las fracciones. El conjunto de los números racionales engloba al conjunto de los números naturales y al conjunto de los números enteros, es decir cualquier número natural es un número entero y cualquier número entero es también un número racional.

Se forman con un numerador y un denominador, además el numerador y el denominador se suelen separar con una barra. En el ejemplo siguiente, el 1 es el numerador y el 2 es el denominador:

\[\frac{1}{2}\]

Podemos encontrar estos tes tipos de fracciones:

• Propias: cuando el numerador es más pequeño que el denominador. Estas fracciones representan una cantidad menor que la unidad (1).
• Impropias: cuando el numerador es más grade que el denominador. Estas fracciones representan una cantidad mayor que la unidad (1).
• Unidad: cuando el numerador y el denominador son iguales.

Podemos convertir una fracción en un número decimal dividiendo el numerador entre el denominador.

\[\frac{1}{2} = 1 \div 2 = 0.5 \text{ (Propia)}; \qquad \qquad \frac{4}{2} = 4 \div 2 = 2 \text{ (Impropia)}; \qquad \qquad \frac{5}{5} = 5 \div 5 = 1 \text{ (Unidad)}\]

Suma y resta de fracciones con distinto denominador

Para sumar o restar fracciones con distinto denominador podemos calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores y calcular fracciones equivalentes con el mismo denominador dividiendo el m.c.m. entre el denominador original y multiplicándolo por el numerador original. Una vez tengo las fracciones equivalentes con el mismo denominador, el resultado de la suma o de la resta será otra fracción con el mismo denominador y como numerador la suma o resta de los numeradores.

Ejemplo: Calcula \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}\)

1. Descomponemos los denominadores en factores primos (en este caso ambos denominadores son números primos y no tenemos que descomponerlos).
2. Calculamos el \(m.c.m.(3, 5)\).
   • \(m.c.m.(3, 5) = 3 \cdot 5 = 15\)
3. Calculo las fracciones equivalentes a las originales con el \(m.c.m.(3, 5)\) como denominador de ambas:
   • Numerador de la primera: \(15 \div 3 \cdot 1 = 5\)
   • Numerador de la segunda: \(15 \div 5 \cdot 1 = 3\)
   • Ahora tenemos una suma equivalente pero de fracciones con el mismo denominador: \(\dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15}\)
4. Ya solo nos queda sumar dos fracciones con igual denominador. El resultado tendrá el denominador común y como numerador la suma de los numeradores. \[\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}\]

Ejemplo: Calcula \(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\)

Este caso es similar al anterior, así que procedemos de la misma forma, solo que al final la operación será de resta en lugar de ser de suma:

\[\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}\]

Fracción irreducible

Para calcular la fracción irreducible de una fracción dada, calculamos el máximo común divisor y lo dividimos entre el numerador y el denominador originales. Los nuevos numerador y denominador formarán la fracción irreducible de la original.

Ejemplo: Calcula la fracción irreducible de \(\dfrac{16}{18}\)

1. Descomponemos el numerador y el denominador en factores primos:
   • \(16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4\)
   • \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2\)
2. Calculamos el \(m.c.d.\):
   • \(m.c.d.(16, 18) = 2\)
3. Dividimos numerador y denominador entre el \(m.c.d.\):
   • \(16 \div 2 = 8\)
   • \(18 \div 2 = 9\)
4. Los valores que hemos obtenido son el numerador y el denominador respectivamente de la fracción irreducible: \(\dfrac{8}{9}\).

IMPORTANTE: Si el m.c.d. de los términos de la fracción original me da 1, la fracción ya es irreducible.

Números mixtos

Los números mixtos están compuestos por un número entero y una fracción. La fracción que forma parte de estos números es más pequeña que la unidad (fracción propia), es decir, el numerador es más pequeño que el denominador. Su forma es la siguiente:

\[2\frac{1}{3}\]

En este caso, se lee dos y un tercio y significa que tenemos dos unidades completas y un tercio más.

Paso de número mixto a fracción impropia

1. Primero pasamos el número entero a fracción multiplicándolo por el denominador de la fracción que lo acompaña y de dejando como denominador el mismo que el de la fracción.
2. Luego sumamos las dos fracciones que tienen el mismo denominador.

\[2\dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}\]

Paso de fracción impropia a número mixto

1. Primero dividimos el numerador entre el denominador. Por ejemplo, si tenemos la fracción \(\dfrac{17}{2}\) y la queremos pasar a número mixto, hacemos la división \(17 \div 2\) y obtenemos los valores siguientes:

   • Dividendo = 17
   • Divisor = 2
   • Cociente = 8
   • Resto = 1

2. Con estos datos podemos formar el número mixto donde la parte entera será el cociente, el numerador de la fracción (parte racional) será el resto y el denominador de la fracción será el divisor. El resultado nos quedará así:

\[8\frac{1}{2}\]

Suma y resta de números mixtos

Hay varias formas de sumar y restar números mixtos. Dos de ellas son las siguientes:

1. Sumar o restar la parte natural y luego sumar o restar las fracciones (si las fracciones tienen diferente denominador, habrá que buscar fracciones equivalentes con el mismo denominador).

\[2\frac{3}{5} + 4\frac{1}{3} = 2\frac{9}{15} + 4\frac{5}{15} = 6\frac{14}{15}\]

\[---------------\]

\[5\frac{3}{5} - 4\frac{1}{3} = 5\frac{9}{15} - 4\frac{5}{15} = 1\frac{4}{15}\]

2. Escribir los números mixtos como fracciones impropias y luego sumarlas o restartas.

\[2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}\] \[4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}\] \[\frac{13}{5} + \frac{13}{3} = \frac{39}{15} + \frac{65}{15} = \frac{104}{15}\] \[104 \div 15 = 6; r = 14\] \[\frac{104}{15} = 6\frac{14}{15}\]

\[---------------\]

\[5\frac{3}{5} = \frac{28}{5}\] \[4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}\] \[\frac{28}{5} - \frac{13}{3} = \frac{84}{15} - \frac{65}{15} = \frac{19}{15}\] \[19 \div 15 = 1; r = 4\] \[\frac{19}{15} = 1\frac{4}{15}\]

Fracción de una fracción

Si queremos calcular la fracción de una fracción tenemos que tener en cuenta que lo que estamos buscando es una parte de la parte que indica la segunda fracción. Por ejemplo, si queremos \(\dfrac{1}{3} \text{ de } \dfrac{1}{4}\) primero hacemos la unidad cuatro partes y cogemos una. Luego, la parte que queda la hacemos tres partes y volvemos a coger una. Al final, tendremos \(\dfrac{1}{12}\) de la unidad. Si lo queremos hacer numéricamente, solo tenemos que multiplicar las dos fracciones para obtener el resultado. Así:

\(\dfrac{1}{3} \text{ de } \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \dfrac{1}{12}\)

NÚMEROS ROMANOS

El sistema de numeración romano utiliza letras en lugar de números y unas normas para combinarlas. Estas son las equivalencias entre las letras de la numeración romana y nuestro sistema de numeración decimal:

Las reglas para combinar correctamente los números romanos son:

1. Las letras \(I\), \(X\), \(C\) y \(M\) se pueden repetir hasta tres veces seguidas y se suman sus valores. Por ejemplo:

   \(II = 2 \qquad \qquad XX = 20 \qquad \qquad CCC = 300 \qquad \qquad MMM = 3000\)

2. Una letra a la derecha de otra de mayor valor se suma con ella. Por ejemplo:

   \(VII = 7 \qquad \qquad XV = 15 \qquad \qquad CXIII = 113 \qquad \qquad MX = 1010\)

3. Las letras \(I\), \(X\) y \(C\) escritas a la izquierda de otra de mayor valor se restan. Por ejemplo:

   \(IV = 4 \qquad \qquad IX = 9 \qquad \qquad XC = 90 \qquad \qquad CD = 400\)

4. Una raya encima de una o varias letras multiplica su valor por 1000. Por ejemplo:

   \(\overline{L} = 50000 \qquad \qquad \overline{IX} = 9000\)

5. La \(I\) solo se puede escribir a la izquierda de la \(V\) y de la \(X\).

   \(IX = 9 \rightarrow \text{Correcto} \qquad \qquad ID \rightarrow \text{Incorrecto}\)

6. La \(X\) solo se puede escribir a la izquierda de la \(L\) y de la \(C\).

   \(XL = 40 \rightarrow \text{Correcto} \qquad \qquad XM \rightarrow \text{Incorrecto}\)

7. La \(C\) solo se puede escribir a la izquierda de la \(D\) y de la \(M\).

   \(CM = 900 \rightarrow \text{Correcto} \qquad \qquad C\overline{L} \rightarrow \text{Incorrecto}\)

CONOZCO EL SIGLO A PARTIR DEL AÑO

El siglo va siempre 1 por delante de las centenas del año, menos en los años que acaban en 00 en los que el siglo coincide con las centenas del año.

Por ejemplo:

• Año 245 \(\rightarrow\) Siglo \(III\).
• Año 1975 \(\rightarrow\) Siglo \(XX\).
• Año 1800 \(\rightarrow\) Siglo \(XVIII\).

PORCENTAJES

Los porcentajes nos sirven para hacernos una idea de las cosas que son proporcionales, por ejemplo, si nos dicen que en un autobús viajan 55 personas y que el 60 % han pagado con tarjeta, podemos averiguar, gracias a la proporcionalidad cuántos de ellos han pagado con tarjeta. Lo calculamos así:

\[ \left. \begin{array}{ccc} 60 & \longrightarrow & 100 \\ x & \longrightarrow & 55 \end{array} \right\} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{60 \cdot 55}{100} = \frac{3300}{100} = 33 \% \text{ pagan con tarjeta.} \]

También son muy útiles para calcular aumentos y descuentos. Por ejemplo, si quiero comprar un pantalón que cuesta 80 € y está rebajado un 20 %, ¿cuánto pagaré?

\[ \left. \begin{array}{ccc} 20 & \longrightarrow & 100 \\ x & \longrightarrow & 80 \end{array} \right\} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{20 \cdot 80}{100} = \frac{1600}{100} = 16 \text{ €} \]

\[ 80 - 16 = 64 \text{€ pagaré finalmente por el pantalón.} \]

Si pago 51 € por un pantalón que en la etiqueta dice que cuesta 60 €, ¿qué descuento me están haciendo?

Primero, calculo cuánto me han rebajado: \(60 - 51 = 9\) €

Luego utilizo la proporcionalidad:

\[ \left. \begin{array}{ccc} 9 & \longrightarrow & 60 \\ x & \longrightarrow & 100 \end{array} \right\} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9 \cdot 100}{60} = \frac{900}{60} = 15 \% \]

Me han rebajado un 15 %.